Propiedades De Integrales Indefinidas
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un
intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante:
si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C,
tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración.
Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto
de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral
indefinida de f y se representa como:
El proceso de hallar la primitiva de una función se
conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la
derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las
integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y
proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de
numerosas funciones.
Ejemplo
Una primitiva de la función \scriptstyle f(x)=\cos(x)
en \scriptstyle \mathbb{R}, es la función \scriptstyle F(x)=\sin(x) ya
que:
Dado que la derivada de una constante es cero,
tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como
sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la
función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una
constante conocida como constante de integración.
Constante de integración
La derivada de cualquier función constante es cero.
Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una
constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ‘ = F
‘ + C ‘ = F ‘ + 0 = F ‘. La constante es una manera de expresar que
cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.
Para interpretar el significado de la constante de
integración se puede observar el hecho de que la función f (x) es la
derivada de otra función F (x), es decir, que para cada valor de x, f
(x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y)
del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene
un campo vectorial como el que se representa en la figura de la
derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su
derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar
una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a
los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al
variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que
cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.
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