Integrales Indefinidas Trigonometricas

Integrales Indefinidas Trigonométricas

Al igual que las funciones logarítmicas y exponenciales, las funciones trigonométricas también pueden ser integradas.

Existe un conjunto separado de fórmulas disponibles para todas las funciones trigonométricas así como para las funciones trigonométricas inversas.

Estas fórmulas pueden ser utilizadas directamente en su lugar para integrar el integrando dado.

Aparte de eso las identidades trigonométricas son también fundamentales para llevar a cabo la solución de problemas, especialmente durante el uso de métodos como la sustitución.

Las integrales de las funciones trigonométricas se enumeran a continuación.

Con excepción de las últimas cuatro fórmulas, el resto se obtiene directamente usando los resultados de sus respectivas derivadas. Las últimos cuatro fórmulas son obtenidas utilizando las identidades trigonométricas y la integración a través de la sustitución.

Mientrascalculamos un determinado integrando trigonométrico es esencial el seguimiento de una estrategia como se describe a continuación.

1 Si la función seno es elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función seno separada y use la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función coseno y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualarel coseno a la nueva variable.

2 Si la función coseno es elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función coseno separada y use la identidadsin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función seno y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar el seno a la nueva variable.

3 En el caso que tanto la función seno como la función coseno se eleven a un exponente par entonces las identidades del ángulo medio pueden ser aplicadas para conseguir el integrando completo dentro de los términos de la función coseno.

4 Otras identidades, tales como,

también pueden ser utilizadas en los lugares requeridos.

5 Si la función secante es elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función secante separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función tangente y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar la tangente a la nueva variable.

6 Si la función tangente es elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función sec(x) tan(x) separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función secante y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar la secante a la nueva variable.

Sea un integrando de la forma,

  sin5(x) dx

Al mirar este integrando la mayoría de las personas tratarían de sustituir sin(x) = a, lo cual produciría cos(x) dx = da. Pero esto es una interpretación errónea. En general, para integrar una función seno una función coseno es necesaria y para integrar una función coseno una función seno.

Por lo tanto, para el ejemplo anterior mantenga la función seno a un lado y transforme el integrando de la función coseno con la ayuda de la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 como se describe a continuación.

sin5(x) dx = sin(x) (sin2(x))2

sin(x) (1 - cos2(x))2

Ahora la integración a través del método de sustitución puedeser aplicada al mantenercos(x) = a

Esto produce –sin(x) dx = da

  -(1 – a2) da

  (-a4 + 2a2 – 1)da

        -a5/ 5 + 2a3/ 3 - a + c

        cos5(x)/ 5 + 2cos3(x)/ 3 – cos(x) + c