Area Bajo La Grafica De Una Funcion
La velocidad, la aceleración constante y muchos otros
conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del
área bajo sus respectivas curvas.
El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función.
El área aproximada bajo el gráfico de una función
puede formularse al representar un rectángulo pequeño de altura y
anchura fijas lo cual equivale al valor de la función en el medio del
intervalo correspondiente.
Área = fi x
Aquí f(x) es la función de x. Debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el ancho del rectángulo, mejor será la aproximación.
El rectángulo puede ser rectángulo interior o
rectángulo exterior. El área de todos los rectángulos se añade para
obtener el área final bajo el gráfico de la función.
Con el fin de disminuir los esfuerzos de sumar las
áreas individuales de todos los rectángulos, se desarrolló el concepto
de la integral definida.
El área bajo la gráfica de la función se puede
determinar mediante la realización de las integrales definidas entre los
puntos dados.
El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la ayuda de las integrales definidas:
Área = f(x) dx
La expresión puede ser más simplificada como:
f(x) dx = [F(x)]ba= F(b) – F(a)
El resultado es positivo en el caso que la curva
esté por encima del eje x y es negativo cuando la curva se encuentra
por debajo del eje x.
En el caso que la gráfica esté parcialmente porarriba y
parcialmente por debajo del eje x, se debe prestar atención. En ese
caso, el resultado neto de estos dos casos es generado, el cual es la
diferencia entre el área cuando la curva está por debajo del eje x y
cuando la curva está por encima del eje x. El área encontrada por las
integrales se conoce siempre como el área bajo la gráfica de la función,
independientemente del hecho de que esté por debajo o por encima del
eje de coordenadas x.
El concepto principal de las integrales es aumentar el
número de rectángulos mediante acercarse al infinito y considerar el
ancho del rectángulo como el límite.
Veamos un ejemplo para ilustrar mejor el concepto:
Ahora suponga que el áreadel grafico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por ser determinado.
Podemos proceder de la forma siguiente:
Área = (7 – x2) dx
= | (7x – 1/3 x3)|−12
= [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)]
= 18
Si el área será calculada con respecto al eje y,
entonces, la integración se lleva a cabo con relación a y en lugar de x.
Es decir, la fórmula se convierte en:
Área = f(y) dy
Por ejemplo: Supongamos que el área de la curva está limitada por la ecuación , y =5, y = 1 y por el eje y.
Para esto, debemos expresar a x como una función de y
y =
y2 = x – 1
x = y2 + 1
Por tanto, el área puede ser calculada como:
Área = (y2 + 1) dy
= [ + y]15
= 45 1/3 unidades cuadradas.
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