Integrales Indefinidas Por Sustitucion Trigonometrica
La sustitución de las funciones de trigonometría por alguna función algebraica se conoce como sustitución trigonométrica.
Existen ciertas funciones para las cuales otras
sustituciones no funcionan dado que podrían transformar toda la
expresión en una forma aún más críptica.
Algunos de estos ejemplos pueden ser resueltos por las sustituciones trigonométricas a lugar.
Es muy importante identificar el tipo de integrandos donde hacer una sustitución trigonométrica esla mejor opción.
Por lo general las expresiones que pueden representar
los lados de un triángulo, y debido a esto, el teorema de la hipotenusa
puede mantenerse cierto, pueden ser sustituidas por una función
trigonométrica.
También es importante estar al tanto de las
identidades y fórmulas trigonométricas para poder resolver estos
problemas. Por ejemplo para una funcion tal que,
Un error común que la gente comete cuando observa las
integrales de este tipo es reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que
es una suposición errónea.
También podemos ver que existe una expresión de raíz
cuadrada en el integrando la cual podría resultar tediosa de resolver,
por tanto su eliminación sería una buena elección.
Como podemos ver en la figura anterior la expresión de
la base del triángulo es representada por y x representa la altura
del triángulo. Por tantouna sustitución trigonométricasería una mejor
opción. Supongamos ahora
sin = x/ 3 utilizando lafórmula sin = longitud del triángulo dividido por la hipotenusa del triángulo
x = 3 sin … (1)
El valor de puede ser deducido usando la formula = arcsin (x/ 3)
Ahora diferenciando la ecuación número (1) obtenemos
dx = 3 cos d
= 3 cos
Ahora el nuevo integrando se convierte
Simplificando esta obtenemos
Finalmente nos da + c como respuesta.
Es esencial que antes de uno proceder con la solución,
sea dibujado un bosquejo aproximado de los lados del triángulo para que
en ningún paso ocurra una sustitución incorrecta. Además, si el valor
de x es igual a cero o el valor de es igual a cero entonces tal
triángulo no puede existir.
Un conjunto general de las sustituciones que se utilizan para sustituciones trigonométricas son las siguientes,
es sustituido asumiendo que x = p sin
es sustituido asumiendo que x = p tan
es sustituido asumiendo que x = p sec
Estas son sustituciones estándares que pueden ser tomadas como normas para la sustitución trigonométrica.
En el caso que la variable sea precedida por un
término coeficiente, entonces ese coeficiente pasa a ser el denominador
del términoconstante que precede a la función trigonométrica en el lado
derecho.
Si tenemos algún tipo de expresión cuadrática bajo la
raíz cuadrada entonces convertir esta en un cuadrado perfecto debe ser
el primer paso para la solución del problema.
Vale la pena saber que sólo en los casos donde el
denominador no produce una raíz real, podemos usar una función tangente
como sustitución.
Sin embargo, hacerque una función trigonométrica
sustituya una función algebraica no es la única solución, el problema
también puede resolverse utilizando las reglas simples de integración,
ya que existen muchas maneras de resolver un integrando específico.
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