Funcion primitiva

Función Primitiva

Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevola función original f(x).

Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x).

Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintosde c sin ningún pre-requisito para obtener a c.

Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.

Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos.

Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, antiderivada, etc.

Matemáticamente, para una función valorada real f(x), la cual, para un intervalo abierto (a, b), es de naturaleza continua, tenemos una función primitiva F(x) la cual es también una función valorada real derivable para el mismo intervalo abierto (a, b) y es continua para un intervalo cerrado [a, b].

Esto puede ser representado como,

La función primitiva de cualquier función puede ser encontrada a través del proceso de integración o antidiferenciación.

Como se mencionó anteriormente no existe solo una función primitiva sino que existe toda una familia de tales funciones.

Ahora bien, G(x) es un miembro de la familia de la función primitiva F(x) si esta satisface la condición,

Aquí c es la constante arbitraria de integración.

La función primitiva a veces se denomina también como integral indefinida para la función f(x).

Sabemos que es posible calcular el valor de una integral definida para la función f(x) al calcularel valor de la función primitiva en el límite superior e inferior de la función y encontrando la diferencia entre los dos.

Por tanto se puede establecer que,

Esto significa que nunca tenemos una sola función primitiva F(x) para la función dada f(x).

También que para la función dada f(x) de grado n, la función primitiva F(x) será de un grado más alto que el de la función dada.

Un punto digno de mención es que a través de la declaración anterior podemos relacionar las integrales definidas con las integrales indefinidas; esto es parte del teorema fundamental del cálculo.

Sin embargo, no es esencial que exista una función primitiva para cada función.

Para que una función primitiva exista, es necesario que la función dada sea continua en un intervalo abierto arbitrario.

No todas, pero una entre las muchas funciones primitivas se puede obtener mediante el cálculo de la integral definida de la función variando el límite superior de integración.

Si intentamos variar el límite inferior también, podemos obtener otras funciones primitivas, sin embargo no es posible calcularlas todas de esta manera.

La función primitiva se puede conseguir mediante el cálculo de la integración de la función dada, por lo tanto, la función primitiva de 5y6 sería

5y6

5[y6+1/ 6+1]

5/7 y7