Calculo De Volumenes De Solidos De Revolucion
Físicamente, los sólidos de revolución se refierena
todos aquellos objetos que son intersectados y se componen de una
sección circular.
Con el fin de entenderlos matemáticamente, sea f(x)
una curva y sea esta rotada 360 grados alrededor del eje x entre el
intervalo x = a y x = b.
En la rotación, la curva representa un sólido y este sólido se denomina sólido de revolución.
El cálculodel volumen de sólidos de revolución es una de las importantes aplicaciones de las integrales.
El método integral del cálculo de volúmenes de sólidos de revolución se conoce comúnmente como Integración de Disco.
El disco está usualmente integrado a lo largo de un eje particular dado.
Hay tres casos principales que surgen mientras tratamos con los problemas de encontrar los volúmenes:
1). Cuando la función rotativa es función del eje x.
2). Cuando la función rotativa es función del eje y.
3). Método de Arandelas
Los primeros dos métodos se conocen también como métodos delos anillos para encontrar el volumen de sólidos de revolución.
Cuando la función rotativa es función del eje x: La
integral de la forma es utilizada para calcular el volumen de la
función y, en particular la función del eje x.
Aquí R(x) representa la distancia del eje de rotación de la función correspondiente.
La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de rotación es horizontal.
Para la rotación sobre el eje y o cualquier otro eje vertical los otros dos casos entran en existencia.
Cuando la función rotativa es función del eje y:La
integral de la forma se utiliza para calcular el volumen de la función,
la cual es eje de la función del eje y.
Aquí R(y) representa la distancia del eje de rotación de la función correspondiente.
La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de rotación es vertical.
Método de Arandelas:Puede existir el caso cuando el sólido de revolución es hueco.
El proceso para encontrarlo se conoce a menudo como método de arandelas.
En este, el volumen de sólido exterior se resta del volumen de sólido interior. Esto es,
Aquí RO(x) representa la función que está a la
distancia máxima del eje de rotación. RI(x) representa la función que
está a la distancia mínima del eje de rotación.
La limitación relacionada con esta fórmula es que sólo es aplicable si el eje de revolución es el eje x.
Para rotar cualquier sólido alrededor de un eje
horizontal, el valor del eje horizontal se resta de la fórmula
correspondiente. Esto es, ([h – R0(x)]2 - [h – RI(x)]2 ) dx
La fórmula también puede ser modificada para la rotación alrededor del eje vertical.
Consideremos un ejemplo donde el volumen de la esfera debe ser encontrado.
La ecuación y = representa un semicírculo y una
rotación de 360 grados del semicírculo a lo largo del eje x forma una
esfera. Suponga que es rotado entre los puntos x =-r y x = r.
Ahora, x2 + y2 = r2y por tanto, y2 = r2 – x2
Aplicando la fórmula , obtenemos
V = (r2 – x2) dx
= [r2x – x3/3]-rr
= (r3 – r3/3) – r3 + r3/3)
= 4 r3/3
Por lo tanto, hemos obtenido la fórmula estándar del volumen de la esfera,la cual representa la exactitud del procedimiento.
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