Calculo de integrales definidas

Cálculo de Integrales Definidas

El cálculo de la integral definida se denomina a menudo como integración numérica o cuadratura numérica o simplemente cuadratura.

Sin embargo, este es utilizadogeneralmente más para una ecuación dimensional, para las ecuaciones con más de una dimensión, el uso de la palabracubatura es más adecuado.

Se utiliza para calcular la solución numérica aproximada de una integral definida dada.

Existen varias formas para calcular la solución de un problema de integral definida.

Sin embargo, en esencia todos estos métodos intentan tomar una evaluación de la integral dada en un número de puntos en los límites establecidos de la integración y entonces encontrar una solución aproximada al problema completo, lo cual es solamente una solución aproximada.

Sin embargo, en todo este proceso una gran cantidad de errores de aproximación entran en nuestra solución y por este motivo no nos acercamos a la solución real.

Un enfoque inteligente para superar este problema es reducir el número de puntos para el cual se está calculando la función dada.

Veamos ahora algunos métodos para encontrar una solución.

1 Haciendo uso de las fórmulas básicas de integración:

Este es el método más básico para resolver una integral definida. Se utiliza principalmente en los lugares que se puede sustituir directamente el valor de la fórmula de integración.

Y finalmente, se reemplaza la variable con los límites superior e inferior respectivamente y se procede a encontrar la solución. Algunas de las fórmulas de integración más comunes son:

- Esta fórmula es aplicable para todos los valores de n, excepto −1.

- Donde k es una constante yx es la variable utilizada en la integración.

- Donde k es una constante.

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2 Resolviendo la expresión a través del álgebra:

Este es de nuevo un método muy básico para resolver las integrales definidas. En este método, aumentamos la potencia de cada variable por uno y también movemos el nuevo valor de la potencia al denominador de la variable, además se añade una nueva constante al final. El valor de la constante se modifica para la variable de integración con la constante como su coeficiente. Mire el ejemplo ilustrado a continuación para entender el concepto.

  (x + 1) (x – 1) dx

= (x2 – 1) dx, utilizando la fórmula de álgebra simple.

= x3/3 – x + c dx

Finalmente esta integral puede ser resuelta para sus límites superior e inferior.

3 Integración por sustitución:

Es un método importante para resolver integrales. En este método tenemos una función principal y el integrando se define como la multiplicación de la función principal y la derivada de esta función principal.

Ahora permitimos que la función principal sea representada por cualquier variable, sea z, por tanto tenemos,

z = g(x) and dz/ dx = g’(x)

dz = g’(x) dx

Sustituya los valores en la expresión real como

Ahora esta expresión puede resolverse como cualquier otra integral y finalmente sustituya el límite superior e inferior de nuevo en la expresión.

En muchas ocasiones es necesario cambiar los límites de integración ya que la variable de integración se ha modificado.

Demos un vistazo a un ejemplo.

x sin(x2) dx z = x2 dz = 2x dx x sin(x2) dx = ½ sin(x2) 2x dx ½ sin (z) dz -1/2 [cos(x2) + c]05

Nunca está explícitamente fijado para cualquier problema que el mismo sea un problema a resolver por sustitución; sino que esto se encuentra a través de la solución del integrando.

Después de llegar a la etapa final de cada método simplemente sustituimos la variable una sola vez para el límite superior en toda la expresión y luego para el límite inferior en toda la expresión y finalmente restamos las dos para obtener la respuesta final.