Definición de Integral Definida
La integración es el proceso inverso de la
diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el
espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración
indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es
aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es
aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación
convencional de la integral definida es la siguiente,
Encima se muestra la integración definida de algún
f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la
cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo
en el cual se va a integrar. La integral de Riemann es un caso especial
de la integral definida en la cual x es esencialmente un número real.
Una integral definida se representa más comúnmente como,
Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n
yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo.
Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación
analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y
= f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior. La suma
del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx.
Aquí, el número debajo del signo de la integración que
es a, es el límite inferior de la integración definida, mientras que el
número que está por encima del signo de la integración que es b, es el
límite superior de integración. En conjunto se denominan límites de
integración. Sin embargo, es esencial que el límite inferior sea menor
que el límite superior.
Una interesante interpretación de la integración
definida es el Teorema del Cambio Total. Para alguna función f(x), f’(x)
da la razón de variación de la función dada, entonces
da la variación neta de la función dada para algún
intervalo [p, q]. En términos simples, se puede afirmar que la
integración definida de la razón de variación de una función produce la
variación total de los valores de la función. En la expresión dada
anteriormente, está claro que la diferencia f(b) - f(a) da la variación
total de la función dada f(x) en sus límites de integración.
Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para tener una comprensión más profunda del tema.
(3y2 + 2y +5) dy
[y3 + y2 +5y]15(la expresión anterior denota la
sustitución del límite inferior, así como del límite superior en la
expresión dada)
[4(5)3 + (5)2 + 5(5)] (reemplace el valor del límite superior para las variables en la expresión dada)
[4(125) + (25) + 5(5)]
125 + 25 + 25
175
[(1)3 + (1)2 + 5(1)](reemplace el valor del límite inferior para las variables en la expresión dada)
[(1)3 + (1)2 + 5(1)]
1 + 1 + 5
7
Ahora reste los dos valores finales para obtener el resultado de la integración.
175- 7
168
Es de destacar que el resultado final es un número y
no algún término de variable, lo que significa que para las integrales
definidas podemos determinar los resultados reales.
Saludos y suerte prof lauro soto
0 comentarios:
Publicar un comentario