Notación Sumatoria
En muchas ocasiones las operaciones matemáticas
requieren la adición de una serie de números para generar la suma total
de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil
escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema
empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución
es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y
finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a
continuación,
Esta expresión representa una operación que incluye
lasuma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos
usadolos puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para
simbolizar la ausencia de números en la serie.
Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo
sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una
alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria.
Puede ser representada de la siguiente manera,
Aquí se representa la variable o los términos en la
serie. El operador sigma es un símbolo de laGrecia antigua, donde fue
utilizado como letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica
de la operación sumatoriautilizando el símbolo sumatorio se representa,
La variable que aparece en la parte derecha del
símbolo es el “Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación
sumatoria. Siempre existe un límite inferior y un límite superior de la
operación los cuales están representados por debajo y por encima del
símbolo sumatorio. La variable, representando el límite de la operación,
se escribe debajo del símbolo sumatorio hacia la izquierda del límite
inferior.
El límite de la operación se inicia a partir del valor
hacia el lado derecho del índice de la variable y termina en el valor
escrito sobre el símbolo sumatorio. El límite inferior de la operación
es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite
superior es llamado punto final.
La expresión mostrada arriba se calcula como,
= x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn
Mientras que algunos matemáticos están a favor
de la escritura de la notación completa cada vez que se va a escribir
una operación de notación sumatoria, algunos de ellos están a favor de
escribirla solamente cuando se requiere producir la suma de algunas de
las cantidades disponibles del conjunto de cantidades, y de escribir una
versión abreviada cuando se va a producir la suma de los valores del
conjunto completo. A modo de ejemplo, serviría a los fines en el
último caso.
Es posible elevar al cuadrado cada uno de los términos
y luego producir la suma de todas las cantidades cuadradas. Tal
operación se puede denotar como,
= x12 + x22 + x32 + … + xn-12 + xn2
La notación abreviada de la expresión anterior
sería x2. Es esencial recordar que esta notación es completamente
diferente de ( x)2 dado que esta última expresión denota una operación
en la queprimero se suman todos los términos y luego se eleva al
cuadrado el resultado obtenido, mientras que la operación anterior
denota una expresión en la cual se produce la suma de términos que ya
estaban elevados al cuadrado.
Otra operación interesante que se puede realizar
utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de productos
vectoriales. Taloperación se puededenotarcomo,
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