Integrales Indefinidas Por Partes

Integración Indefinida por Partes

La mayoría de las veces la gente intenta usar las fórmulas de integración de la suma o la resta de dos funciones para el producto de dos funciones, lo cual sin embargo produce resultados erróneos dado que esta no es la técnica correcta. Como ejemplo,

Un error común cometido por las personas que observan una expresión de este tipo sería,

El cual es sin embargo un enfoque equivocado.

Para entender el concepto suponga que f(x) es x y g(x) es 1.

En tal escenario la integración de 1 produciría x lo cual no es correcto.

Para resolver una ecuación de este tipo, se utiliza la técnica de la integración por partes.

Como es conocido la integración es la técnica inversa de la diferenciación; la integración por partes es la técnica inversa de la regla del producto de la diferenciación.

La fórmula general para la integración por partes,

Esta fórmulapodría confundirlo. Así que para entender el concepto detrás de la formulación de esta fórmula observe la regla del producto de la diferenciación escrita a continuación,

De la expresión anterior se puede deducir que,

Ahora bien, si una de las dos expresiones puede ser resuelta con facilidad, entonces podría ser utilizada para deducir la otra también, lo cual constituye la base para la formulación de la técnica de integración por partes.

La Integración por partes se desarrolla de la siguiente manera,

1 Trace las dos funciones primarias para el integrando dado, esto es f(x) yg(x). En caso que no exista una segunda función primaria, seaestag(x) no es real asumirla como una.

2 Ahora las funciones secundarias se colocarán en el lugar de las primarias como se describe a continuación,

y

3 Luego integre cualquiera de las dos funciones y diferencie la otra función. Cualquiera de las dos pueden ser integradas o diferenciadas.

4 Ahora aplique la fórmula de integración por partes como,

Esto puede parecer bastante confuso y un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda.

  ln(x) dx

Dado que sólo una de las funciones primarias está ahí se puede asumir que la segunda es 1.

Ahora sea ln (x) = u y 1.dx = dv.

Luego diferenciando la primera función e integrando la segunda obtenemos,

du = 1 / x dx

v = x

 Colocando los valores anteriores en la expresión real tenemos que,
  ln(x) dx = x * ln(x) -  x * 1 / x dx
   x * 1 / x dx = dx
  x + c
  Por tanto la solución final es x * ln (x) - x + c

En la práctica, los integrandos que sondifíciles para ser integrados directamente se transforman de forma que el método de integración por partes se pueda aplicar para hacerlos más fácil de integrar.

Sin embargo, es muy importante una elección correcta de la función a ser integrada y diferenciad asi no se efectúa de esta forma es posible que el integrando se vuelva aún más críptico que antes.

Otra razón para que la integración por partes falle sería que algunas de las transformaciones de los integrandos causenque el integrando original aparezca de nuevo.

También para algunas funciones, puede ser necesario realizar el mismo procedimiento en n repetidas ocasiones lo cual hace que todo el proceso sea aún más complejo.