Medida Aproximada de Figuras Amorfas
Calcular las áreas de una figura regular es una tarea
muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras
cantidades en la fórmula produciría el resultado.
Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de
las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no
fórmulas directas para estimaresta área.
La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.
Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.
Estas son:
1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.
El gráfico de la función se muestra a continuación,
Para estimar el área de tal figura, considereque el
área bajo la curva estácompuesto por un gran número de delgadas tiras
verticales.
Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dxpara la anchura. El área de esta tira elemental sería,
dA = y dx donde y = f(x)
El área total A de la región entre el eje x, la
ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria
de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona
limitada.
Esto produce la fórmula,
A = dA
= y dx
= f(x) dx
La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.
2 La segunda situación es cuando el área está
delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 =
y. La gráfica de la función se muestra a continuación,
Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un
gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria
dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental
sería,
dA = x dy donde x = g(y)
El área total A de la región entre el eje x, la
ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las
áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área
limitada. Esto produce la fórmula,
A = dA
= x dy
= g(y) dy
3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en
cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que
cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y
las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.
Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración,entonces
A = | f(x) dx|
4 Una última posibilidad sería que una parte de la
curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x.
Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encimadel eje x. Por
lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las
ordenadas x = a y x = b serán,
A = |A1| + A2
Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,
Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.
La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el
origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la
parábola. El gráfico de la función dada sería,
El área de la región limitada es,
A = y dx
= dx
= 2/3 [x3/2]14
= 2/3 [43/2 – 13/2]
= 2/3 [8 – 1]
= 14/3
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